ガウシアンフィルタのフーリエ変換を導出する

問題

以下の式で示される空間領域のガウシアンフィルタのフーリエ変換を求めなさい。

空間領域のガウシアンフィルタ
$h_{g} (x, y) = \frac{1}{2 π σ^{2}} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2 σ^{2}}}$

出典は以下の投稿です。

略解の行間を埋めるように導出の過程を示す。 $j^{2} = - 1$ とする。

まず、 $x$ に関する積分と $y$ に関する積分とを分離する。

\begin{matrix} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2 σ^{2}}} e^{- j 2 π (u x + v y)} d x d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} - j 2 π u x) d x \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{y^{2}}{2 σ^{2}} - j 2 π v y) d y . \end{matrix}

左の被積分関数の指数を $f (x, u)$ と置いて平方完成すると以下のようになる。

\begin{matrix} f (x, u) : = - \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} - j 2 π u x \\ = - \frac{1}{2 σ^{2}} (x^{2} + j 4 π σ^{2} u x) \\ = - \frac{1}{2 σ^{2}} ({(x + j 2 σ^{2} π u)}^{2} + {(2 π σ^{2})}^{2} u^{2}) . \end{matrix}

これを用いて被積分関数 $\exp (f (x, u))$ は以下のように整理できる。

\begin{matrix} \exp (f (x, u)) = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ({(x + j 2 σ^{2} π u)}^{2} + {(2 π σ^{2})}^{2} u^{2})) \\ = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} {(x + j 2 σ^{2} π u)}^{2}) \exp (- 2 π^{2} σ^{2} u^{2}) . \end{matrix}

右の指数関数はその指数に積分変数 $x$ を含まないから定数とみなせることに注意して、ガウス積分の結果を使えば以下のように積分できる。

\begin{matrix} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (f (x, u)) d x = \exp (- 2 π^{2} σ^{2} u^{2}) \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} {(x + j 2 π σ^{2} u)}^{2}) d x \\ = \exp (- 2 π^{2} σ^{2} u^{2}) \sqrt{2 π σ^{2}} . \end{matrix}

したがって以下の通り解が得られる。

\begin{matrix} F (h_{g} (x, y)) = \frac{1}{2 π σ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (f (x, u)) d x \int_{- \infty}^{\infty} \exp (f (y, v)) d y \\ = \frac{1}{2 π σ^{2}} \cdot \exp (- 2 π^{2} σ^{2} u^{2}) \sqrt{2 π σ^{2}} \cdot \exp (- 2 π^{2} σ^{2} v^{2}) \sqrt{2 π σ^{2}} \\ = \exp (- 2 π^{2} σ^{2} (u^{2} + v^{2})) . \end{matrix}