ガウシアンフィルタのフーリエ変換を導出する

問題

以下の式で示される空間領域のガウシアンフィルタのフーリエ変換を求めなさい。
空間領域のガウシアンフィルタ

$h_{\mathrm{g}}(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

出典は以下の投稿です。

略解の行間を埋めるように導出の過程を示す。 $j^2 = -1$ とする。

まず、 $x$ に関する積分と $y$ に関する積分とを分離する。

\begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} e^{-j2\pi(ux+vy)} dx dy \\ {}={} & \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!{\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}-j2\pi ux\right)} dx \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!{\left(-\frac{y^2}{2\sigma^2}-j2\pi vy\right)} dy . \end{align*}

左の被積分関数の指数を $f(x, u)$ と置いて平方完成すると以下のようになる。

\begin{align*} f(x, u) := {} & -\frac{x^2}{2\sigma^2} - j2\pi ux \\ {}={} & -\frac{1}{2\sigma^2} (x^2 + j4\pi\sigma^2 ux) \\ {}={} & -\frac{1}{2\sigma^2}\!\left( (x+j2\sigma^2\pi u)^2+(2\pi\sigma^2)^2u^2 \right)\!. \end{align*}

これを用いて被積分関数 $\exp(f(x, u))$ は以下のように整理できる。

\begin{align*} \exp(f(x, u)) = {} & \exp\!{\left( -\frac{1}{2\sigma^2}\!\left( (x+j2\sigma^2\pi u)^2+(2\pi\sigma^2)^2u^2 \right) \right)} \\ {}={} & \exp\!{\left( -\frac{1}{2\sigma^2} (x+j2\sigma^2\pi u)^2 \right)} \exp{(-2\pi^2\sigma^2 u^2)} . \end{align*}

右の指数関数はその指数に積分変数 $x$ を含まないから定数とみなせることに注意して、ガウス積分の結果を使えば以下のように積分できる。

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(f(x, u)) \, dx ={} & \exp{(-2\pi^2\sigma^2 u^2)} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!{\left(-\frac{1}{2\sigma^2} (x+j2\pi\sigma^2 u)^2 \right)} dx \\ {}={} & \exp{(-2\pi^2\sigma^2 u^2)} \sqrt{2\pi\sigma^2} . \end{align*}

したがって以下の通り解が得られる。

\begin{align*} F( h_{\mathrm{g}}(x, y) ) = {} & \frac{1}{2\pi\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!{\left(f(x, u) \right)} \, dx \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!{\left(f(y, v) \right)} \, dy \\ {}={} & \frac{1}{2\pi\sigma^2} \cdot \exp{(-2\pi^2\sigma^2 u^2)} \sqrt{2\pi\sigma^2} \cdot \exp{(-2\pi^2\sigma^2 v^2)} \sqrt{2\pi\sigma^2} \\ {}={} & \exp\!{\left( -2 \pi^2 \sigma^2 (u^2 + v^2) \right)} . \end{align*}