√(x²) ≟ ±x

Xで話題に挙がっていた数式 $\sqrt{x^{2}} = \pm x$ について考える。

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mdash; ℕ 浪くん (@nrou_mathmatics) May 9, 2026

この記事では $x$ は実数とする。

論理和の略記

方程式 $x^{2} = 4$ の解は $x = + 2, - 2$ である。これらを $x = \pm 2$ と省略して書くこともある。これは $x = + 2 \lor x = - 2$ くらいの意味だろう（ $+ 2 \neq - 2$ だから $x = + 2 \land x = - 2$ は偽だ）。

この考え方を冒頭の式に適用すると、次の論理式 (★) の略記といえる。

\begin{matrix} \sqrt{x^{2}} = + x \lor \sqrt{x^{2}} = - x & (★) \end{matrix}

この命題は真である。

（証明） $x \geq 0$ のときは $\sqrt{x^{2}} = + x$ だから、(★) は真。 $x < 0$ のときは $\sqrt{x^{2}} = - x$ だから、(★) は真。したがって、任意の実数 $x$ に対して論理式 (★) は真である。（証明終）

このように考えるならば冒頭の式は正しいと言えそうだ。

複号同順

「±」という記号は、以下のように「複号同順」という言葉と共に使われることもある。

{(x \pm y)}^{2} = x^{2} \pm 2 x y + y^{2} （複号同順）

これは複数ある復号の同じ側を取ることにして、以下の2つの恒等式をまとめて書いたものである。

\begin{matrix} {\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2} \end{matrix} \end{matrix}

これらはどちらも成り立つ。

一方、冒頭の式には復号が1つしか出てこないので無理筋かもしれないが、「どちらも」真となるか、すなわち次の命題を考える。

\begin{matrix} \sqrt{x^{2}} = + x \land \sqrt{x^{2}} = - x & (♢) \end{matrix}

反例はすぐに挙げられるだろう。(♢) は偽である。例えば $x = 2$ が $\sqrt{x^{2}} = \sqrt{2^{2}} = \sqrt{4} = 2 \neq - 2$ であるから反例となる。

もっとも、冒頭の式には復号が1つしか出てこないから、このように考えるのは野暮かもしれない。

結局

\sqrt{x^{2}} = | x | .

√(x²) ≟ ±x

論理和の略記

複号同順

結局

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