$\sin (\sin (x))={(\sin (x))}^2$ の実数解

${\sin }^{2}x$ は普通 ${(\sin x)}^2$ とされます。 一方で写像の合成 $f^2=f\circ f$ として解釈すれば $\sin (\sin (x))$ と解釈することも出来ます。 これらは全く違う意味となりそうですが、一致することはあるのでしょうか？

Grokに考えさせてみました。

方程式 $\sin (\sin x)={(\sin x)}^2$ を実数 $x$ について解きます。

1. 変数変換

$\theta =\sin x$ とおきます。
すると $\theta \in [-1,1]$ となり、方程式は以下のように変形されます。

2. $\theta \in [-1,0]$ の場合

• ${\theta }^2\ge 0$ です。
• $\theta \in [-1,0)$ のとき $\sin \theta <0$ となるため、$\sin \theta <{\theta }^2$ となり等式は成立しません。
• $\theta =0$ のとき $\sin 0=0=0^2$ となり、等式が成立します。

したがって、$\theta =0$ は解となります。

3. $\theta \in (0,1]$ の場合

関数 $f(\theta )=\sin \theta -{\theta }^2$ を考えます。

• $f(0)=0$
• $f(1)=\sin 1-1\approx 0.8415-1<0$
• $f^{\prime }(\theta )=\cos \theta -2\theta$
• $f^{\prime }(0)=1>0$

方程式 $\cos \theta =2\theta$ は、$\theta \in (0,1)$ にちょうど1つの解を持ちます（$\cos \theta$ は減少関数、$2\theta$ は増加関数であるため）。

したがって $f(\theta )$ は $\theta =0$ から増加し、最大値を取った後に減少します。
最大値が正であることから、$(0,1)$ にちょうど1つの零点が存在します。

この唯一の正の解を ${\theta }_0\in (0,1)$ と表します。

（数値的には ${\theta }_0\approx 0.876726$）

4. 全体の解

方程式が成立するのは、以下の2つの場合です。

• $\sin x=0$
• $\sin x={\theta }_0$

(1) $\sin x=0$ の場合

(2) $\sin x={\theta }_0$ の場合

まとめ

実数解は、
$\sin x=0$ または $\sin x={\theta }_0$ を満たすすべての $x$ です。

ここで ${\theta }_0$ は $\sin \theta ={\theta }^2$ を満たす $(\mathrm{0,1})$ 内の唯一の解です。